SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [30]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}

(difusão de partículas carregadas)

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}

("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de partículas esféricas através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

D é a constante de difusão,
q é a carga elétrica da partícula,
μ_q, a mobilidade elétrica da partícula carregada, i.e. a razão da velocidade de deriva terminal da partícula para um campo elétrico aplicado,
$k_{B}$ $k_{B}$ é a constante de Boltzmann,
T é a temperatura absoluta,
η é a viscosidade
r é o raio da partícula esférica.

A forma mais geral da equação é:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D=\mu \,k_{B}T

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = v_d / F.

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μ_q é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μ_q/q. Entretanto, a forma geral da equação

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D=\mu \,k_{B}T

é no caso de uma partícula carregada:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}

Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade $\mu$ é o inverso do coeficiente de arrasto $\zeta$ . Uma constante de amortecimento, $\gamma$ , é frequentemente usada no contexto de $\gamma ^{-1}$ , o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio $�$ , a lei de Stokes fornece

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\zeta =m\gamma =6\pi \,\eta \,r,

onde $\eta$ é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein torna-se

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}

Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é^[1]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}

onde $\eta$ é o potencial químico e p o número de partículas.

Prova do caso geral

(Esta é a demonstração em uma dimensão, mas é idêntica a uma demonstração em duas ou três dimensões: Apenas substitui-se d/dx com $\nabla$ . Essencialmente a mesma deonstração é encontrada em muitos lugares, por exemplo ver Kubo.^[2])

Supondo-se alguma energia potencial U cria uma força sobre uma partícula $F=-dU/dx$ (por exemplo, uma força elétrica). Assumindo-se que a partícula irá responder, outras coisas iguais, por mover-se com velocidade $v=\mu F$ . Agora assume-se que existe um grande número de tais partículas, com concentração $f(x)$ como uma função da posição. Após algum tempo, o equilíbrio irá ser estabelecido: As partículas irão "acumular-se" em torno das áreas com mais baixa U, mas ainda serão espalhadas em certa medida por causa da difusão aleatória. Neste ponto, não há um fluxo em balanço, resultante, de partículas: A tendência das partículas para serem empurradas para mais baixa U (chamada "corrente de deriva") é igual e oposta à tendência das partículas de se espalhar devido à difusão (chamada "corrente de difusão").